1. 记号与表达式. 令

则

2. 证明 $EW < \infty$.

由于 $I_\Bqty{T \ge k} = 1 - I_\Bqty{T \le k - 1}$ 仅仅是 $Y_0, Y_1, \cdots, Y_{k - 1}$ 的函数,

利用题给条件和 $\ksum P\Bqty{T \ge k} = ET$, 有

即 $EW < \infty$.

3. 证明 $E(\sup\limits_{n \ge 0} \vqty{X_{T \and n}}) < \infty$.

由于 $\vqty{X_T} \le W$, 有 $\vqty{T \and n} \le W$, 于是

所以有

4. 证明 $P\Bqty{T < \infty} = 1$.

否则, $ET = \infty$, 矛盾, 于是成立.

5. 于是满足定理 4.3.1 的条件, 从而 $EX_T = EX_0$. 证毕.